Álgebra Exemplos

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

Etapa 1.2

Subtraia $\sin (θ)$ dos dois lados da equação.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

Etapa 2

Simplifique $2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ .

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Etapa 2.1

Reordene $2 \cos^{2} (θ)$ e $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $- 2$ de $2 \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Etapa 3

Resolva $θ$ .

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Etapa 3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Deixe $u = \sin (θ)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (θ)$ .

$- 2 u^{2} - u = 0$

Etapa 3.1.2

Fatore $u$ de $- 2 u^{2} - u$ .

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $u$ de $- 2 u^{2}$ .

$u (- 2 u) - u = 0$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $u$ de $- u$ .

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $u$ de $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (- 2 u - 1) = 0$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 3.3

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.3.1

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Etapa 3.3.2

Resolva $\sin (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.3.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (0)$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 3.3.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - 0$

Etapa 3.3.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$θ = π$

Etapa 3.3.2.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 3.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3.2.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.4

Defina $- 2 \sin (θ) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $- 2 \sin (θ) - 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 2 \sin (θ) = 1$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (θ) = 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (θ) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.2.1.2

Divida $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 3.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Etapa 3.4.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 3.4.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.4.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 3.4.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Etapa 3.4.2.7

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 3.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.4.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.4.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 3.4.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.4.2.8.3

Combine frações.

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Etapa 3.4.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.4.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 3.4.2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.8.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 3.4.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 3.4.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Etapa 3.4.2.9

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ verdadeiro.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$