Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \div \frac{x + 6}{36 - x^{2}}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 2

Fatore $x^{2} + x - 20$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 40 x + 96$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 3.1.2

Fatore $4$ de $- 40 x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) + 4 (- 10 x) + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 3.1.3

Fatore $4$ de $96$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 3.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 10 x)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 3.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x + 24)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} - 10 x + 24$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $24$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 6, - 4$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 ((x - 6) (x - 4))} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{5^{2} - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 5}{4 (x - 6)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{x + 5}{4 (x - 6)}$ por $\frac{3}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((5 + x) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $x + 5$ e $5 + x$ .

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Etapa 5.3.1

Reordene os termos.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x + 6}$

Etapa 6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 6$ e $b = x$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x + 6}$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $6 + x$ e $x + 6$ .

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Etapa 7.1.1

Reordene os termos.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Etapa 7.1.3

Divida $6 - x$ por $1$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} (6 - x)$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)}$ por $6 - x$ .

$\frac{3 (6 - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $6 - x$ e $x - 6$ .

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Etapa 7.3.1

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6) - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Etapa 7.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6) - (x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Etapa 7.3.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6 + x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Etapa 7.3.4

Reordene os termos.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Etapa 7.3.6

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{4 (5 - x)}$

Etapa 8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{4 (5 - x)}$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4 (5 - x)}$