Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Etapa 2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Fatore $x^{2} + 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $5$ .

$1, 4$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 8

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 9

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 4$

Etapa 11

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

Etapa 12

Consolide as soluções.

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

Etapa 13

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

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Etapa 13.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $x$ .

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Etapa 13.2.1

Fatore $x^{2} + 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 13.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $5$ .

$1, 4$

Etapa 13.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Etapa 13.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 13.2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 13.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 13.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.2.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 13.2.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 13.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 4$

Etapa 13.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 14

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 15

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 15.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 15.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

Etapa 15.1.3

O lado esquerdo $3.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 15.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

Etapa 15.2.3

O lado esquerdo $- 1.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 15.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

Etapa 15.3.3

O lado esquerdo $- 0.25$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 15.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 15.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 15.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

Etapa 15.4.3

O lado esquerdo $0.375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 15.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 16

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x < - 1$ ou $- 1 < x \leq 1$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

Notação de intervalo:

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

Etapa 18