Álgebra Exemplos

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 9$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \geq 9^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ como ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 9^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \geq 9^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 9^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 81$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Etapa 3.2

Subtraia $81$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $81$ de $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Etapa 3.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 12 x - 72$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $4$ de $- 12 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $4$ de $- 72$ .

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Etapa 3.4.1.4

Fatore $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Etapa 3.4.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ .

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $x^{2} - 3 x - 18$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 6, 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 3$

Etapa 4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 5.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \geq 9$

Etapa 5.1.3

O lado esquerdo $15$ é maior do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \geq 9$

Etapa 5.2.3

O lado esquerdo $3$ é menor do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 5.3

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 5.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \geq 9$

Etapa 5.3.3

O lado esquerdo $13$ é maior do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadeiro

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 6$

Etapa 7

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Etapa 8