Álgebra Exemplos

$\frac{\log_{8} (2) + \log_{81} (3)}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1

A base do logaritmo $8$ de $2$ é $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \log_{81} (3)}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.2

A base do logaritmo $81$ de $3$ é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.3

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.4

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.5.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{4 + 3}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 1.7

Some $4$ e $3$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Etapa 2

A base do logaritmo $\sqrt{3}$ de $27$ é $6$ .

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Etapa 2.1

Reescreva como uma equação.

$\frac{\frac{7}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27) = x}$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{\sqrt{3}} (27) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ não for igual a $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{{\sqrt{3}}^{x} = 27}$

Etapa 2.3

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$\frac{\frac{7}{12}}{{\sqrt{3}}^{x} = {\sqrt{3}}^{6}}$

Etapa 2.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$\frac{\frac{7}{12}}{x = 6}$

Etapa 2.5

A variável $x$ é igual a $6$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{6}$

Etapa 3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{7}{12}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{7}{12 \cdot 6}$

Etapa 4.2

Multiplique $12$ por $6$ .

$\frac{7}{72}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{7}{72}$

Forma decimal:

$0.097\overline{2}$