Álgebra Exemplos

$2 \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 1

Substitua $2 \sec^{2} (x)$ por $2 (1 + \tan^{2} (x))$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.1

Subtraia $3$ de $2$ .

$2 \tan^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 3.2

Some $2 \tan^{2} (x)$ e $\tan^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $3 \tan^{2} (x) = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $3 \tan^{2} (x) = 1$ por $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Etapa 6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 7.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 7.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 7.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 7.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 7.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 7.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 7.4.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.1

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 10.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Etapa 10.4

Simplifique $π + \frac{π}{6}$ .

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Etapa 10.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 10.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 10.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 10.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 10.4.3.2

Some $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 10.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 10.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 11.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Etapa 11.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 11.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Etapa 11.4.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{6}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 11.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + π$

Etapa 11.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 11.6.3

Combine frações.

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Etapa 11.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 11.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 11.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.6.4.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 11.6.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Etapa 11.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 11.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as soluções.

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Etapa 13.1

Consolide $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{7 π}{6} + π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13.2

Consolide $\frac{5 π}{6} + π n$ e $\frac{5 π}{6} + π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$