Álgebra Exemplos

$\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{3}$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$\frac{θ}{2} = \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = 2 \frac{π}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Combine $2$ e $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{θ}{2} = π + \frac{π}{3}$

Etapa 6

Resolva $θ$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$θ = 2 (π + \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $2 (π + \frac{π}{3})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = 2 \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$θ = 2 \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4

Multiplique $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 6.2.2.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Etapa 7

Encontre o período de $\tan (\frac{θ}{2})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 7.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \cdot 2$

Etapa 7.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$2 π$

Etapa 8

O período da função $\tan (\frac{θ}{2})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$