Álgebra Exemplos

$\tan (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

Etapa 1

Resolva $θ$ .

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Etapa 1.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ > \arctan (0)$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$θ > 0$

Etapa 1.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + 0$

Etapa 1.4

Some $π$ e $0$ .

$θ = π$

Etapa 1.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 1.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.7

Consolide as respostas.

$θ = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.8

Encontre o domínio de $\tan (θ)$ .

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Etapa 1.8.1

Defina o argumento em $\tan (θ)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.8.2

O domínio consiste em todos os valores de $θ$ que tornam a expressão definida.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < θ < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < θ < π$

Etapa 1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.10.1

Teste um valor no intervalo $0 < θ < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < θ < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 1$

Etapa 1.10.1.2

Substitua $θ$ por $1$ na desigualdade original.

$\tan (1) > 0$

Etapa 1.10.1.3

O lado esquerdo $1.55740772$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < θ < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 2$

Etapa 1.10.2.2

Substitua $θ$ por $2$ na desigualdade original.

$\tan (2) > 0$

Etapa 1.10.2.3

O lado esquerdo $- 2.18503986$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.10.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < θ < π$ Falso

$0 < θ < \frac{π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < θ < π$ Falso

Etapa 1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 + π n < θ < \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Resolva $θ$ .

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Etapa 2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ < \arccos (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ < \frac{π}{2}$

Etapa 2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

O domínio consiste em todos os valores de $θ$ que tornam a expressão definida.

${θ | θ \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Etapa 2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.10.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 3$

Etapa 2.10.1.2

Substitua $θ$ por $3$ na desigualdade original.

$\cos (3) < 0$

Etapa 2.10.1.3

O lado esquerdo $- 0.98999249$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$θ = 6$

Etapa 2.10.2.2

Substitua $θ$ por $6$ na desigualdade original.

$\cos (6) < 0$

Etapa 2.10.2.3

O lado esquerdo $0.96017028$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.10.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Falso

Etapa 2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Plote cada gráfico no mesmo sistema de coordenadas.

$\tan (θ) > 0$

$\cos (θ) < 0$

Etapa 4