Álgebra Exemplos

${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) = 9$

Etapa 1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2

Simplifique ${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) - 9$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2}$ como $(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x))$ .

$(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.2

Expanda $(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

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Etapa 2.1.3.1.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $- 6 \sin (x) (- 6 \sin (x))$ .

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Etapa 2.1.3.1.4.1

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin (x) \sin (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 {\sin (x)}^{1 + 1} - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.2

Reordene os fatores de $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.1.3.3

Subtraia $18 \cos (x) \sin (x)$ de $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Etapa 2.2

Mova $- 9$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.3

Reordene $9 \cos^{2} (x)$ e $- 9$ .

$- 9 + 9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $- 9$ de $- 9$ .

$- 9 (1) + 9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 9$ de $9 \cos^{2} (x)$ .

$- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x)) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 9$ de $- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 9 (1 - \cos^{2} (x)) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- 9 \sin^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.8

Some $- 9 \sin^{2} (x)$ e $36 \sin^{2} (x)$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) + 27 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 2.9

Combine os termos opostos em $- 36 \cos (x) \sin (x) + 27 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 2.9.1

Subtraia $27 \sin^{2} (x)$ de $27 \sin^{2} (x)$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Etapa 2.9.2

Some $- 36 \cos (x) \sin (x)$ e $0$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 4

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $- 36 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$