Álgebra Exemplos

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 (t^{2} - 9) = - 5$

Etapa 1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} + 16 \cdot - 9 = - 5$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $16$ por $- 9$ .

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 = - 5$

Etapa 1.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3

Simplifique $3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva ${(t^{2} - 9)}^{2}$ como $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ .

$3 ((t^{2} - 9) (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.2

Expanda $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (t^{2} (t^{2} - 9) - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.3.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$3 (t^{4} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.3.1.2

Mova $- 9$ para a esquerda de $t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 9 \cdot t^{2} - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.3.1.3

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$3 (t^{4} - 9 t^{2} - 9 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.3.2

Subtraia $9 t^{2}$ de $- 9 t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 18 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 t^{4} + 3 (- 18 t^{2}) + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.1.5.1

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.1.5.2

Multiplique $3$ por $81$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 243 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.2

Some $- 54 t^{2}$ e $16 t^{2}$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 243 - 144 + 5 = 0$

Etapa 1.3.3

Subtraia $144$ de $243$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 99 + 5 = 0$

Etapa 1.3.4

Some $99$ e $5$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$

Etapa 2

Substitua $u = t^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

$u = t^{2}$

Etapa 3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 104 = 312$ e cuja soma é $b = - 38$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $- 38$ de $- 38 u$ .

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 38$ como $- 12$ mais $- 26$

$3 u^{2} + (- 12 - 26) u + 104 = 0$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} - 12 u - 26 u + 104 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} - 12 u) - 26 u + 104 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 u (u - 4) - 26 (u - 4) = 0$

Etapa 3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $u - 4$ .

$(u - 4) (3 u - 26) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$3 u - 26 = 0$

Etapa 5

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 6

Defina $3 u - 26$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.1

Defina $3 u - 26$ como igual a $0$ .

$3 u - 26 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $3 u - 26 = 0$ para $u$ .

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Etapa 6.2.1

Some $26$ aos dois lados da equação.

$3 u = 26$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $3 u = 26$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = 26$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{26}{3}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 4) (3 u - 26) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, \frac{26}{3}$

Etapa 8

Substitua o valor real de $u = t^{2}$ de volta na equação resolvida.

$t^{2} = 4$

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Etapa 9

Resolva a primeira equação para $t$ .

$t^{2} = 4$

Etapa 10

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{4}$

Etapa 10.2

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 10.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 10.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$t = \pm 2$

Etapa 10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = 2$

Etapa 10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - 2$

Etapa 10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = 2, - 2$

Etapa 11

Resolva a segunda equação para $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Etapa 12

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$t^{2} = \frac{26}{3}$

Etapa 12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{\frac{26}{3}}$

Etapa 12.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{26}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{26}{3}}$ como $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

Etapa 12.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 12.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 12.3.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 12.3.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 12.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 12.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 12.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 12.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 12.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 12.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 12.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 12.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 12.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$t = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 3}}{3}$

Etapa 12.3.4.2

Multiplique $26$ por $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{78}}{3}$

Etapa 12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}$

Etapa 12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Etapa 12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Etapa 13

A solução para $3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$ é $t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$ .

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Forma decimal:

$t = 2, - 2, 2.94392028 \dots, - 2.94392028 \dots$