Álgebra Exemplos

$\sqrt{2} \cdot x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = \sqrt{2}$ , $b = 7$ e $c = 5 \sqrt{2}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2}))}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $- 20 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.1.3.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.4.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 20 \cdot 2}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.6

Subtraia $40$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{- 7 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 3.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.6

Some $1$ e $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.7.5

Avalie o expoente.

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.5

Fatore $- 1$ de $- 7 \pm 3$ .

$x = \frac{- 1 (- (- 7 \pm 3)) \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.7

Multiplique $- 7 \pm 3$ por $1$ .

$x = \frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3.8

Reordene os fatores em $\frac{(- 7 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} (- 7 \pm 3)}{4}$

Etapa 4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \sqrt{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1.41421356 \dots, - 3.53553390 \dots$