Álgebra Exemplos

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 80 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

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Etapa 1.1

Subtraia $80$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} - 4 y^{2} = - 80$

Etapa 1.2

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$- 5 x^{2} + 4 y^{2} = 80$

Etapa 1.3

Divida cada termo por $80$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{5 x^{2}}{80} + \frac{4 y^{2}}{80} = \frac{80}{80}$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\sqrt{20 + {(4)}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{20 + 16}$

Etapa 4.3.3.3

Some $20$ e $16$ .

$\sqrt{36}$

Etapa 4.3.3.4

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Etapa 4.3.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$6$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 6)$

Etapa 5.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 5.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 6)$

Etapa 5.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(0, 6), (0, - 6)$

Etapa 6