Álgebra Exemplos

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 1$

$x = 4$

$x = - 8$

Etapa 6

Consolide as soluções.

$x = - 1, 4, - 8$

Etapa 7

Encontre o domínio de $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ .

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

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Etapa 7.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 7.2.2

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.2.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.2.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.2.3

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.2.3.1

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Etapa 7.2.3.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 7.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 8$

Etapa 7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{(- 10) + 1}{((- 10) - 4) ((- 10) + 8)} \geq 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 0.32142857$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) + 1}{((- 4) - 4) ((- 4) + 8)} \geq 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0.09375$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 1}{((0) - 4) ((0) + 8)} \geq 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $- 0.03125$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{(6) + 1}{((6) - 4) ((6) + 8)} \geq 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $0.25$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 8 < x \leq - 1$ ou $x > 4$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 8 < x \leq - 1 or x > 4$

Notação de intervalo:

$(- 8, - 1] \cup (4, \infty)$

Etapa 12