Álgebra Exemplos

$\tan (15) \tan (30)$

Etapa 1

O valor exato de $\tan (15)$ é $2 - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\tan (45 - 30) \tan (30)$

Etapa 1.2

Separar negativação.

$\tan (45 - (30)) \tan (30)$

Etapa 1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Etapa 1.4

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Etapa 1.5

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30)$

Etapa 1.6

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} \tan (30)$

Etapa 1.7

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8

Simplifique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Multiplique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.1.2

Combine.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Etapa 1.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Etapa 1.8.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Etapa 1.8.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30)$

Etapa 1.8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.5.2.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.6

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \tan (30)$

Etapa 1.8.7

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} \tan (30)$

Etapa 1.8.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} \tan (30)$

Etapa 1.8.9

Simplifique.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.10.1

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.10.2

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.10.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.11

Reescreva ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.12

Expanda $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.13.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.13.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.13.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.2

Some $9$ e $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.13.3

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.14

Cancele o fator comum de $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.14.2

Fatore $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} \tan (30)$

Etapa 1.8.14.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} \tan (30)$

Etapa 1.8.14.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \tan (30)$

Etapa 1.8.14.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1} \tan (30)$

Etapa 1.8.14.4.4

Divida $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$(2 - \sqrt{3}) \tan (30)$

Etapa 2

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$(2 - \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

Multiplique $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}$

Etapa 5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{3}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}$

Etapa 7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}$

Etapa 7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{3}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3} - 3^{1}}{3}$

Etapa 7.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 3}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{3} - 3}{3}$

Forma decimal:

$0.15470053 \dots$