Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Etapa 1

Substitua $x + 7$ por $f (x)$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Etapa 2.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Etapa 2.2.2

Subtraia $x$ de $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Etapa 2.3

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Etapa 2.4

Subtraia $7$ de $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Etapa 2.5

Fatore $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.5.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Etapa 2.5.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Etapa 2.5.3

Substitua $- 7$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 7$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.5.3.1

Substitua $- 7$ no polinômio.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Etapa 2.5.3.2

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Etapa 2.5.3.3

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Etapa 2.5.3.4

Multiplique $12$ por $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Etapa 2.5.3.5

Some $- 343$ e $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Etapa 2.5.3.6

Multiplique $24$ por $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Etapa 2.5.3.7

Subtraia $168$ de $245$ .

$77 - 77$

Etapa 2.5.3.8

Subtraia $77$ de $77$ .

$0$

Etapa 2.5.4

Como $- 7$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 7$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Etapa 2.5.5

Divida $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ por $x + 7$ .

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Etapa 2.5.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Etapa 2.5.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Etapa 2.5.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Etapa 2.5.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Etapa 2.5.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Etapa 2.5.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.5.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 2.5.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Etapa 2.5.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{2} + 35 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Etapa 2.5.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Etapa 2.5.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Etapa 2.5.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 11 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Etapa 2.5.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Etapa 2.5.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 11 x - 77$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Etapa 2.5.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Etapa 2.5.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 5 x - 11$

Etapa 2.5.6

Escreva $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ como um conjunto de fatores.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Etapa 2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Etapa 2.7

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.7.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 2.7.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 2.8

Defina $x^{2} + 5 x - 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.8.1

Defina $x^{2} + 5 x - 11$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Etapa 2.8.2

Resolva $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.8.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.8.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 5$ e $c = - 11$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.8.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Etapa 2.8.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.3.1.3

Some $25$ e $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.8.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.2.4.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Etapa 2.8.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.4.1.3

Some $25$ e $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.4.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.4.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Etapa 2.8.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Etapa 2.8.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 2.8.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.2.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Etapa 2.8.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.5.1.3

Some $25$ e $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.5.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Etapa 2.8.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Etapa 2.8.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.8.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Etapa 2.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ verdadeiro.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Forma decimal:

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$