Álgebra Exemplos

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $2 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

Etapa 1.2

Some $20 y$ aos dois lados da equação.

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

Etapa 1.3

Some $49$ aos dois lados da equação.

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $2 y^{2} + 20 y + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{10}{2}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$d = 5$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{8}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $400$ por $8$ .

$e = 49 - 1 \cdot 50$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$e = 49 - 50$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Subtraia $50$ de $49$ .

$e = - 1$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 5$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{9}{8}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 1, - 5)$

Foco: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Eixo de simetria: $y = - 5$

Diretriz: $x = - \frac{9}{8}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 1, - 5)$

Foco: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Eixo de simetria: $y = - 5$

Diretriz: $x = - \frac{9}{8}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 5.70710678)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.1.2.2

A resposta final é $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.1.3

Converta $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ em decimal.

$= - 5.70710678$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 4.29289321)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2.2.2

A resposta final é $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2.3

Converta $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ em decimal.

$= - 4.29289321$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Some $10$ e $2$ .

$f (1) = - \frac{12}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Divida $12$ por $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 6$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (1) = - 6$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.3.3

Converta $- 6$ em decimal.

$= - 6$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

Etapa 3.4.2.1.6

Subtraia $2$ de $10$ .

$f (1) = - \frac{8}{2}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Divida $8$ por $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 4$

Etapa 3.4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (1) = - 4$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 3.4.3

Converta $- 4$ em decimal.

$= - 4$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 1, - 5)$

Foco: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Eixo de simetria: $y = - 5$

Diretriz: $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Etapa 5