Álgebra Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int {(x - 1)}^{3} d x + \int 2 d x$

Etapa 3

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{3} d u + \int 2 d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 2 d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 2 x + C$

Etapa 6

Simplifique.

$\frac{1}{4} u^{4} + 2 x + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

Etapa 8

A função $F$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$F (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$