Álgebra Exemplos

$\sqrt{x - 3} \leq 7$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x - 3}}^{2} \leq 7^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 3}$ como ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x - 3)}^{1} \leq 7^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

$x - 3 \leq 7^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$x - 3 \leq 49$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 3.1

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x \leq 49 + 3$

Etapa 3.2

Some $49$ e $3$ .

$x \leq 52$

Etapa 4

Encontre o domínio de $\sqrt{x - 3} - 7$ .

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Etapa 4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x - 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x - 3 \geq 0$

Etapa 4.2

Some $3$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 3$

Etapa 4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[3, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 3$

$3 < x < 52$

$x > 52$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\sqrt{(0) - 3} \leq 7$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $3 < x < 52$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 52$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\sqrt{(6) - 3} \leq 7$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $1.7320508$ é menor do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $x > 52$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 52$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 54$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $54$ na desigualdade original.

$\sqrt{(54) - 3} \leq 7$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $7.14142842$ é maior do que o lado direito $7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 3$ Falso

$3 < x < 52$ Verdadeiro

$x > 52$ Falso

$x < 3$ Falso

$3 < x < 52$ Verdadeiro

$x > 52$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$3 \leq x \leq 52$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$3 \leq x \leq 52$

Notação de intervalo:

$[3, 52]$

Etapa 9