Álgebra Exemplos

$49 x^{2} + 16 y^{2} = 784$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $784$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{49 x^{2}}{784} + \frac{16 y^{2}}{784} = \frac{784}{784}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 7$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\sqrt{49 - {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{49 - 1 \cdot 16}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\sqrt{49 - 16}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $16$ de $49$ .

$\sqrt{33}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 7)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 7)$

Etapa 6.4

O segundo vértice de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (7))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 7)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + \sqrt{33})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, \sqrt{33})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (\sqrt{33}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - \sqrt{33})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{33})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{33})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{33})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{33})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(4)}^{2}}}{7}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 4^{2}}}{7}$

Etapa 8.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 16}}{7}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{\sqrt{49 - 16}}{7}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $16$ de $49$ .

$\frac{\sqrt{33}}{7}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{33})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{33})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{33}}{7}$

Etapa 10