Álgebra Exemplos

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

Etapa 1

Subtraia ${(x - 1)}^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x - 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

Etapa 3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

Etapa 3.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

Etapa 3.2.1.3.4

Some $2$ e $1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Etapa 4

Escreva $| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$y + 2 \geq 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$y \geq - 2$

Etapa 4.3

Na parte em que $y + 2$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ e a intersecção com $y \geq - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Encontre o domínio de $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Etapa 4.4.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1

Simplifique $(x + 1) (- x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1.1

Expanda $(x + 1) (- x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.4

Multiplique $- x$ por $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.1.2.2

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Etapa 4.4.1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Etapa 4.4.1.2.3.1.2

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Etapa 4.4.1.2.3.1.3

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.4.1.2.3.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.4.1.2.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 4.4.1.2.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.3.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 4.4.1.2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 4.4.1.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 4.4.1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4.4.1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.4.1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.4.1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.4.1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.4.1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 4.4.1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 4.4.1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.4.1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 21$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.4.1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.4.1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.9.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.4.1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 4.4.1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Etapa 4.4.1.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 21$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.4.1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 4.4.1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 3$

Etapa 4.4.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, 3]$

Etapa 4.4.2

Encontre a intersecção de $y \geq - 2$ e $[- 1, 3]$ .

$- 1 \leq y \leq 3$

Etapa 4.5

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$y + 2 < 0$

Etapa 4.6

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$y < - 2$

Etapa 4.7

Na parte em que $y + 2$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Etapa 4.8

Encontre o domínio de $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ e a intersecção com $y < - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Encontre o domínio de $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Etapa 4.8.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1

Simplifique $(x + 1) (- x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1.1

Expanda $(x + 1) (- x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.4

Multiplique $- x$ por $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.1.2.2

Subtraia $x$ de $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Etapa 4.8.1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.3.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Etapa 4.8.1.2.3.1.2

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Etapa 4.8.1.2.3.1.3

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.8.1.2.3.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Etapa 4.8.1.2.3.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 4.8.1.2.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.3.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 4.8.1.2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 4.8.1.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 4.8.1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 4.8.1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.8.1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.8.1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 4.8.1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 4.8.1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 4.8.1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 4.8.1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 4.8.1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 21$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.8.1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.8.1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.9.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.8.1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 4.8.1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Etapa 4.8.1.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 21$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.8.1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 4.8.1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 3$

Etapa 4.8.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, 3]$

Etapa 4.8.2

Encontre a intersecção de $y < - 2$ e $[- 1, 3]$ .

$Nenhuma solução$

Etapa 4.9

Escreva em partes.

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

Etapa 5

Resolva $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ quando $- 1 \leq y \leq 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

Etapa 5.2

Encontre a intersecção de $y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ e $- 1 \leq y \leq 3$ .

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Etapa 6

Encontre a união das soluções.

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Etapa 7