Álgebra Exemplos

$\frac{- 2}{x^{2} - 2 x - 3} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{- 2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Etapa 1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 9}$

Etapa 1.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{x^{2} - 3^{2}}$

Etapa 1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{2}{(x - 3) (x + 1)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{3}{(x + 3) (x - 3)}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x - 3) (x + 1) (x + 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(x - 3) (x + 1) (x + 3)$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 3) (x - 3) (x + 1)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(x + 3) (x - 3) (x + 1)$ .

$- \frac{2 (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)} + \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 (x + 3) + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 3 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 6.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 2 x - 6 + 3 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 6.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- 2 x - 6 + 3 x + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 6.5

Some $- 2 x$ e $3 x$ .

$\frac{x - 6 + 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 6.6

Some $- 6$ e $3$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 3) (x - 3)}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 3)}$