Álgebra Exemplos

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

Etapa 4

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ e $c = \sqrt{2}$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Etapa 7.1.3.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.4.5

Avalie o expoente.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $4$ por $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.6

Some $1$ e $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.5.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 7.5.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 7.5.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 7.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.5.6

Some $1$ e $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.5.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.5.7.5

Avalie o expoente.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Etapa 7.7

Reordene os fatores em $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

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Etapa 11.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\sqrt{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 12.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 12.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 12.4.2

Combine frações.

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Etapa 12.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 12.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 12.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$