Álgebra Exemplos

$\ln (2 y - 5) + \ln (2) = 5 x + \ln (5 x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 y - 5) \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (2 y \cdot 2 - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Etapa 1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\ln (4 y - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\ln (4 y - 10) = 5 x + \ln (5 x)$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (4 y - 10) - \ln (5 x) = 5 x$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 y - 10}{5 x}) = 5 x$

Etapa 4

Fatore $2$ de $4 y - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $2$ de $4 y$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) - 10}{5 x}) = 5 x$

Etapa 4.2

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) + 2 (- 5)}{5 x}) = 5 x$

Etapa 4.3

Fatore $2$ de $2 (2 y) + 2 (- 5)$ .

$\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$

Etapa 5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x})} = e^{5 x}$

Etapa 6

Reescreva $\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x} = \frac{2 (2 y - 5)}{5 x}$

Etapa 7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva a equação como $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$

Etapa 7.2

Multiplique os dois lados por $5 x$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x) = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Simplifique $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 (x)} x = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (2 y - 5) = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.1.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$4 y - 10 = e^{5 x} (5 x)$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique $e^{5 x} (5 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 y - 10 = 5 e^{5 x} x$

Etapa 7.3.2.1.2

Reordene os fatores em $5 e^{5 x} x$ .

$4 y - 10 = 5 x e^{5 x}$

Etapa 7.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$4 y = 5 x e^{5 x} + 10$

Etapa 7.4.2

Divida cada termo em $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Divida cada termo em $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Etapa 7.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Etapa 7.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.3.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 (5)}{4}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{5}{2}$