Álgebra Exemplos

$\frac{1}{2} \log_{5} (15) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{1}{2} \log_{5} (15)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Etapa 1.2

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $25$ de $75$ .

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{25 (3)})$

Etapa 1.2.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})$

Etapa 1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}})$

Etapa 3

Multiplique $\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 4.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Etapa 4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Etapa 4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}})$

Etapa 4.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})$

Etapa 4.7.5

Avalie o expoente.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

Etapa 5

Multiplique.

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Etapa 5.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{15})$

Etapa 5.2

Mova $15^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Etapa 6

Multiplique $15$ por $15^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Multiplique $15$ por $15^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.1.1

Eleve $15$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1} \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Etapa 6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})$

Etapa 6.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Etapa 6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Etapa 6.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7

Reescreva $\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 7.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Etapa 7.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Forma decimal:

$- 0.5$