Álgebra Exemplos

\frac{1}{2} \log_{5} (15) - \log_{5} (\sqrt{75})

$\frac{1}{2} \log_{5} (15) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Simplifique

\frac{1}{2} \log_{5} (15)

$\frac{1}{2} \log_{5} (15)$ movendo

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{75})

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Etapa 1.2

Reescreva

75

$75$ como

5^{2} \cdot 3

$5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore

25

$25$ de

75

$75$ .

\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{25 (3)})

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{25 (3)})$

Etapa 1.2.2

Reescreva

25

$25$ como

5^{2}

$5^{2}$ .

\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})$

\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})$

Etapa 1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})$

\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}})$

Etapa 3

Multiplique

\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}

$\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ por

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique

\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}

$\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ por

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 4.2

Mova

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Etapa 4.3

Eleve

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à potência de

1

$1$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Etapa 4.4

Eleve

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à potência de

1

$1$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Etapa 4.6

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}})$

Etapa 4.7

Reescreva

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 4.7.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.7.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.4.1

Cancele o fator comum.

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 4.7.4.2

Reescreva a expressão.

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})$

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})$

Etapa 4.7.5

Avalie o expoente.

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

Etapa 5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique

5

$5$ por

3

$3$ .

\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{15})

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{15})$

Etapa 5.2

Mova

15^{\frac{1}{2}}

$15^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo

b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Etapa 6

Multiplique

15

$15$ por

15^{- \frac{1}{2}}

$15^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique

15

$15$ por

15^{- \frac{1}{2}}

$15^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve

15

$15$ à potência de

1

$1$ .

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1} \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1} \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Etapa 6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})$

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})$

Etapa 6.2

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Etapa 6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2 - 1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Etapa 6.4

Subtraia

1

$1$ de

2

$2$ .

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 7

Reescreva

\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$ usando a mudança da fórmula de base.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

A variação da regra de base pode ser usada quando

a

$a$ e

b

$b$ são maiores do que

0

$0$ e diferentes de

1

$1$ , e quando

x

$x$ é maior do que

0

$0$ .

\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Etapa 7.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando

b = 10

$b = 10$ .

\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Forma decimal:

- 0.5

$- 0.5$