Álgebra Exemplos

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Etapa 2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

Etapa 2.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ e cuja soma é $b = 31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $31$ de $31 u$ .

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $31$ como $- 1$ mais $32$

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

Etapa 2.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $16 u - 1$ .

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.5

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4 x$ e $b = 1$ .

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 4

Defina $4 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $4 x + 1$ como igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 5

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 6

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x^{2} + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{2} + 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 2$

Etapa 6.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Etapa 6.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Etapa 6.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{2}$

Etapa 6.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{2}$

Etapa 6.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$