Álgebra Exemplos

$\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x + 6, 6 - x, x - 6$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $x + 6$ é o próprio $x + 6$ .

$(x + 6) = x + 6$

$(x + 6)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $6 - x$ é o próprio $6 - x$ .

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O fator de $x - 6$ é o próprio $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.8

O MMC de $x + 6, 6 - x, x - 6$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x + 6) (6 - x) (x - 6)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$ por $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$ por $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$\frac{x + 7}{x + 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $x + 6$ de $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$\frac{x + 7}{x + 6} ((x + 6) ((6 - x) (x - 6))) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 7}{x + 6} ((x + 6) ((6 - x) (x - 6))) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$(x + 7) ((6 - x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$(x + 7) ((- 1 (- 6) - x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$(x + 7) ((- 1 (- 6) - (x)) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$(x + 7) (- 1 (- 6 + x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.5

Reordene os termos.

$(x + 7) (- 1 (x - 6) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.6

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$(x + 7) (- 1 ({(x - 6)}^{1} (x - 6))) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.7

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$(x + 7) (- 1 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 7) (- 1 {(x - 6)}^{1 + 1}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.9

Some $1$ e $1$ .

$(x + 7) (- 1 {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.10

Reescreva $- 1 {(x - 6)}^{2}$ como $- {(x - 6)}^{2}$ .

$(x + 7) (- {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.11

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- {(x - 6)}^{2}) + 7 (- {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x {(x - 6)}^{2} + 7 (- {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.13

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.14

Cancele o fator comum de $6 - x$ .

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Etapa 2.2.1.14.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 x}{6 - x}$ para o numerador.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + \frac{- 2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.14.2

Fatore $6 - x$ de $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + \frac{- 2 x}{6 - x} ((6 - x) ((x + 6) (x - 6))) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.14.3

Cancele o fator comum.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + \frac{- 2 x}{6 - x} ((6 - x) ((x + 6) (x - 6))) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.14.4

Reescreva a expressão.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x ((x + 6) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.15

Expanda $(x + 6) (x - 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x (x - 6) + 6 (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.16

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6$ .

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Etapa 2.2.1.16.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 6$ e $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.16.2

Some $- 6 x$ e $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + 0 + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.16.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.17

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.17.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x^{2} + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.17.2

Multiplique $6$ por $- 6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x^{2} - 36) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.18

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.19

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.19.1

Mova $x^{2}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.19.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.2.1.19.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.19.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.19.3

Some $2$ e $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.2.1.20

Multiplique $- 36$ por $- 2$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $x - 6$ de $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = \frac{2 x}{x - 6} ((x - 6) ((x + 6) (6 - x)))$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = \frac{2 x}{x - 6} ((x - 6) ((x + 6) (6 - x)))$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x ((x + 6) (6 - x))$

Etapa 2.3.2

Expanda $(x + 6) (6 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (x (6 - x) + 6 (6 - x))$

Etapa 2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (x \cdot 6 + x (- x) + 6 (6 - x))$

Etapa 2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (x \cdot 6 + x (- x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Etapa 2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 \cdot x + x (- x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x \cdot x + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - (x \cdot x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Etapa 2.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x^{2} + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $6$ por $6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x^{2} + 36 + 6 (- x))$

Etapa 2.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x^{2} + 36 - 6 x)$

Etapa 2.3.3.2

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (- x^{2} + 36 + 0)$

Etapa 2.3.3.3

Some $- x^{2}$ e $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (- x^{2} + 36)$

Etapa 2.3.4

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 36$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 36$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $36$ por $2$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 72 x$

Etapa 2.3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Mova $x^{2}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 72 x$

Etapa 2.3.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 72 x$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 72 x$

Etapa 2.3.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x^{3} + 72 x$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = - 2 x^{3} + 72 x$

Etapa 3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Some $2 x^{3}$ aos dois lados da equação.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x + 2 x^{3} = 72 x$

Etapa 3.1.2

Subtraia $72 x$ dos dois lados da equação.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x + 2 x^{3} - 72 x = 0$

Etapa 3.1.3

Combine os termos opostos em $- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x + 2 x^{3} - 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 72 x + 0 - 72 x = 0$

Etapa 3.1.3.2

Some $- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 72 x$ e $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 72 x - 72 x = 0$

Etapa 3.1.3.3

Subtraia $72 x$ de $72 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 0 = 0$

Etapa 3.1.3.4

Some $- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2}$ e $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Reescreva ${(x - 6)}^{2}$ como $(x - 6) (x - 6)$ .

$- x ((x - 6) (x - 6)) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.2

Expanda $(x - 6) (x - 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.3.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$- x (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.3.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$- x (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$- x (x^{2} - 12 x + 36) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x \cdot x^{2} - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.5.1.1

Mova $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.1.4.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{2 + 1} - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$- x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x \cdot x - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.5.3

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x \cdot x - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.6.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.4.6.1.1

Mova $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 (x \cdot x) - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x^{2} - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.1.4.7

Reescreva ${(x - 6)}^{2}$ como $(x - 6) (x - 6)$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 ((x - 6) (x - 6)) = 0$

Etapa 3.1.4.8

Expanda $(x - 6) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.4.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x (x - 6) - 6 (x - 6)) = 0$

Etapa 3.1.4.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) = 0$

Etapa 3.1.4.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) = 0$

Etapa 3.1.4.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.4.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) = 0$

Etapa 3.1.4.9.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) = 0$

Etapa 3.1.4.9.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 6$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) = 0$

Etapa 3.1.4.9.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

Etapa 3.1.4.10

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 x^{2} - 7 (- 12 x) - 7 \cdot 36 = 0$

Etapa 3.1.4.11

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.11.1

Multiplique $- 12$ por $- 7$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 x^{2} + 84 x - 7 \cdot 36 = 0$

Etapa 3.1.4.11.2

Multiplique $- 7$ por $36$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 x^{2} + 84 x - 252 = 0$

Etapa 3.1.5

Subtraia $7 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} - 36 x + 84 x - 252 = 0$

Etapa 3.1.6

Some $- 36 x$ e $84 x$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

Etapa 3.2.1.3

Substitua $6$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $6$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.2.1.3.1

Substitua $6$ no polinômio.

$- 6^{3} + 5 \cdot 6^{2} + 48 \cdot 6 - 252$

Etapa 3.2.1.3.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 216 + 5 \cdot 6^{2} + 48 \cdot 6 - 252$

Etapa 3.2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $216$ .

$- 216 + 5 \cdot 6^{2} + 48 \cdot 6 - 252$

Etapa 3.2.1.3.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$- 216 + 5 \cdot 36 + 48 \cdot 6 - 252$

Etapa 3.2.1.3.5

Multiplique $5$ por $36$ .

$- 216 + 180 + 48 \cdot 6 - 252$

Etapa 3.2.1.3.6

Some $- 216$ e $180$ .

$- 36 + 48 \cdot 6 - 252$

Etapa 3.2.1.3.7

Multiplique $48$ por $6$ .

$- 36 + 288 - 252$

Etapa 3.2.1.3.8

Some $- 36$ e $288$ .

$252 - 252$

Etapa 3.2.1.3.9

Subtraia $252$ de $252$ .

$0$

Etapa 3.2.1.4

Como $6$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 6$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252}{x - 6}$

Etapa 3.2.1.5

Divida $- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252$ por $x - 6$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$48 x$

$252$

Etapa 3.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$

Etapa 3.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 6 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 3.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$

Etapa 3.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$

Etapa 3.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					-	$x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 3.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 6 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 3.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$

Etapa 3.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$

Etapa 3.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $42 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$

Etapa 3.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$
							+	$42 x$	-	$252$

Etapa 3.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $42 x - 252$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$
							-	$42 x$	+	$252$

Etapa 3.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$
							-	$42 x$	+	$252$
										$0$

Etapa 3.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} - x + 42$

Etapa 3.2.1.6

Escreva $- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252$ como um conjunto de fatores.

$(x - 6) (- x^{2} - x + 42) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$(x - 6) (- x^{2} - (x) + 42) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $6$ mais $- 7$

$(x - 6) (- x^{2} + (6 - 7) x + 42) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 6) (- x^{2} + 6 x - 7 x + 42) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 6) ((- x^{2} + 6 x) - 7 x + 42) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 6) (x (- x + 6) + 7 (- x + 6)) = 0$

Etapa 3.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 6$ .

$(x - 6) ((- x + 6) (x + 7)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 6) (- x + 6) (x + 7) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$- x + 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.5

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (- x + 6) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 7$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$ verdadeira.

$x = - 7$