Álgebra Exemplos

$f (r) = 4 π r^{2}$

Etapa 1

Escreva $f (r) = 4 π r^{2}$ como uma equação.

$y = 4 π r^{2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$r = 4 π y^{2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $4 π y^{2} = r$ .

$4 π y^{2} = r$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 π y^{2} = r$ por $4 π$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 π y^{2} = r$ por $4 π$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Etapa 3.2.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

Etapa 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\frac{r}{4 π}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $r$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4 π$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

Etapa 3.4.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

Etapa 3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{r}{π}}$ como $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ por $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Etapa 3.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ por $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Etapa 3.4.5.2

Eleve $\sqrt{π}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Etapa 3.4.5.3

Eleve $\sqrt{π}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Etapa 3.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Etapa 3.4.5.6

Reescreva ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Etapa 3.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Etapa 3.4.5.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

Etapa 3.4.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ é o inverso de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (r) = 4 π r^{2}$ e $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{r π}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$r π \geq 0$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $r π \geq 0$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $r π \geq 0$ por $π$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$r \geq 0$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $r$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ é o intervalo de $f (r) = 4 π r^{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ é o domínio de $f (r) = 4 π r^{2}$ , então, $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ é o inverso de $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Etapa 6