Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1

Fatore $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 1.2.3

Reescreva o polinômio.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 2

Fatore $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Etapa 2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $5 x$ de $10 x^{3} - 15 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $5 x$ de $10 x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $5 x$ de $- 15 x$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $5 x$ de $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 5

Mova $5$ para a esquerda de $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

Etapa 6

Multiplique $5$ por $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

Etapa 7

Para encontrar os furos no gráfico, observe os fatores denominadores que foram cancelados.

$x + 1, x$

Etapa 8

Para encontrar as coordenadas dos furos, defina cada fator que foi cancelado igual a $0$ , resolva e substitua novamente por $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 8.3

Substitua $- 1$ por $x$ em $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Substitua $- 1$ por $x$ para encontrar a coordenada $y$ do furo.

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Etapa 8.3.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Etapa 8.3.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Etapa 8.3.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Etapa 8.3.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

Etapa 8.3.2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

Etapa 8.3.2.2.5

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{25}{10}$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $25$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 (5)}{10}$

Etapa 8.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{2}$

Etapa 8.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 8.5

Substitua $0$ por $x$ em $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Substitua $0$ por $x$ para encontrar a coordenada $y$ do furo.

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Etapa 8.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1.1

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Etapa 8.5.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Etapa 8.5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Etapa 8.5.2.2.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.2.2.1

Fatore o negativo.

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

Etapa 8.5.2.2.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Etapa 8.5.2.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

Etapa 8.5.2.2.3.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

Etapa 8.5.2.2.4

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

Etapa 8.5.2.3

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{16}{15}$

Etapa 8.6

Os furos no gráfico são os pontos em que qualquer um dos fatores cancelados é igual a $0$ .

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

Etapa 9