Álgebra Exemplos

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Etapa 1

A função principal é a forma mais simples do tipo de função em questão.

$y = x^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

Etapa 2.1.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

Etapa 2.1.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

Etapa 2.2

Some $4$ e $3$ .

$y = x^{2} + 4 x + 7$

Etapa 3

Considere que $y = x^{2}$ é $f (x) = x^{2}$ e $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ é $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Etapa 4

A transformação que está sendo descrita é de $f (x) = x^{2}$ para $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Etapa 5

Encontre a forma do vértice de $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

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Etapa 5.1

Complete o quadrado de $x^{2} + 4 x + 7$ .

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Etapa 5.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

Etapa 5.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 5.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 5.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Etapa 5.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 5.1.3.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 5.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 5.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

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Etapa 5.1.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.4.2.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 5.1.4.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Etapa 5.1.4.2.1.1.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Etapa 5.1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 7 - 4$

Etapa 5.1.4.2.2

Subtraia $4$ de $7$ .

$e = 3$

Etapa 5.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

${(x + 2)}^{2} + 3$

Etapa 5.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Etapa 6

O deslocamento horizontal depende do valor de $h$ . Ele é descrito como:

$g (x) = f (x + h)$ - O gráfico está deslocado $h$ unidades para a esquerda.

$g (x) = f (x - h)$ - O gráfico está deslocado $h$ unidades para a direita.

Deslocamento horizontal: $2$ unidades à esquerda

Etapa 7

O deslocamento vertical depende do valor de $k$ . Ele é descrito como:

$g (x) = f (x) + k$ - O gráfico está deslocado $k$ unidades para cima.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Deslocamento vertical: $3$ unidades para cima

Etapa 8

O gráfico é refletido sobre o eixo x quando $g (x) = - f (x)$ .

Reflexão sobre o eixo x: nenhuma

Etapa 9

O gráfico é refletido sobre o eixo y quando $g (x) = f (- x)$ .

Reflexão sobre o eixo y: nenhuma

Etapa 10

A compressão e o alongamento dependem do valor de $a$ .

Quando $a$ é maior do que $1$ : alongamento vertical

Quando $a$ está entre $0$ e $1$ : compressão vertical

Compressão ou alongamento vertical: nenhum

Etapa 11

Compare e liste as transformações.

Função principal: $y = x^{2}$

Deslocamento horizontal: $2$ unidades à esquerda

Deslocamento vertical: $3$ unidades para cima

Reflexão sobre o eixo x: nenhuma

Reflexão sobre o eixo y: nenhuma

Compressão ou alongamento vertical: nenhum

Etapa 12