Álgebra Exemplos

$x + y^{2} = 4 y - 1$

Etapa 1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x = 4 y - 1 - y^{2}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique $4 y - 1 - y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Mova $- 1$ .

$x = 4 y - y^{2} - 1$

Etapa 2.1.1.2

Reordene $4 y$ e $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 4 y - 1$

Etapa 2.1.2

Complete o quadrado de $- y^{2} + 4 y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = - 1$

Etapa 2.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 2.1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.4.2.1.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = - 1 - (- 1 \cdot 4)$

Etapa 2.1.2.4.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - 1 - - 4$

Etapa 2.1.2.4.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = - 1 + 4$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Some $- 1$ e $4$ .

$e = 3$

Etapa 2.1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 3$

Etapa 2.1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - {(y - 2)}^{2} + 3$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 2$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 2.5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{11}{4}, 2)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 2$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{13}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{13}{4}$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{13}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 3.41421356)$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Etapa 3.1.2.2

A resposta final é $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Etapa 3.1.3

Converta $2 + \sqrt{2}$ em decimal.

$= 3.41421356$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 0.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Etapa 3.2.2.2

A resposta final é $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Etapa 3.2.3

Converta $2 - \sqrt{2}$ em decimal.

$= 0.58578643$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Subtraia $3$ de $2$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (2) = 2 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f (2) = 3$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 3.3.3

Converta $3$ em decimal.

$= 3$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Subtraia $3$ de $2$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{1}$

Etapa 3.4.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (2) = 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (2) = 2 - 1$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = 1$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 3.4.3

Converta $1$ em decimal.

$= 1$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

Etapa 5