Álgebra Exemplos

${(x - 3)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Etapa 1

Subtraia ${(x - 3)}^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$y^{2} \leq 9 - {(x - 3)}^{2}$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x - 3$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $x$ e $0$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Etapa 3.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Etapa 3.2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Etapa 3.2.1.3.5

Some $3$ e $3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Etapa 4

Escreva $| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$y \geq 0$

Etapa 4.2

Na parte em que $y$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ e a intersecção com $y \geq 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Encontre o domínio de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x (- x + 6)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (- x + 6) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Simplifique $x (- x + 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.1.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.1.2.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Etapa 4.3.1.2.3

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.3.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.2

Fatore $- x$ de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Etapa 4.3.1.2.3.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Etapa 4.3.1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 4.3.1.2.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.3.1.2.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.3.1.2.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4.3.1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6$

Etapa 4.3.1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 4.3.1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.3.1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.3.1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.9.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.3.1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 4.3.1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Etapa 4.3.1.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.3.1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 4.3.1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq 6$

Etapa 4.3.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[0, 6]$

Etapa 4.3.2

Encontre a intersecção de $y \geq 0$ e $[0, 6]$ .

$0 \leq y \leq 6$

Etapa 4.4

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$y < 0$

Etapa 4.5

Na parte em que $y$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Etapa 4.6

Encontre o domínio de $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ e a intersecção com $y < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Encontre o domínio de $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x (- x + 6)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (- x + 6) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1

Simplifique $x (- x + 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.1

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.1.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.1.2.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Etapa 4.6.1.2.3

Fatore $- x$ de $- x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.3.1

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.2

Fatore $- x$ de $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Etapa 4.6.1.2.3.3

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Etapa 4.6.1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 4.6.1.2.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.6.1.2.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.6.1.2.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4.6.1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6$

Etapa 4.6.1.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Etapa 4.6.1.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 4.6.1.2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.6.1.2.9.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.6.1.2.9.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.9.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.6.1.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 4.6.1.2.9.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Etapa 4.6.1.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 16$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.6.1.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 6$ Verdadeiro

$x > 6$ Falso

Etapa 4.6.1.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq 6$

Etapa 4.6.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

$[0, 6]$

Etapa 4.6.2

Encontre a intersecção de $y < 0$ e $[0, 6]$ .

$Nenhuma solução$

Etapa 4.7

Escreva em partes.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{x (- x + 6)} & 0 \leq y \leq 6 \end{cases}$

Etapa 5

Encontre a intersecção de $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ e $0 \leq y \leq 6$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Etapa 6

Encontre a união das soluções.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Etapa 7