Álgebra Exemplos

$y = 2 x - x^{2} + 6$

Etapa 1

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 6$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- x^{2} + 2 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 6$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 6 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 6 - \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $- 4$ .

$e = 6 - - 1$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 6 + 1$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $6$ e $1$ .

$e = 7$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - 1)}^{2} + 7$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 7$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 7$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 1$

$k = 7$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, 7)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, \frac{27}{4})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{29}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, 7)$

Foco: $(1, \frac{27}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{29}{4}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, 7)$

Foco: $(1, \frac{27}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{29}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 2 (0) + 6$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - 0 + 2 (0) + 6$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) + 6$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f (0) = 6$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = 0$ é $6$ .

$y = 6$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 6$

Etapa 3.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 2 (- 1) + 6$

Etapa 3.5.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 2 (- 1) + 6$

Etapa 3.5.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 2 (- 1) + 6$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 2 + 6$

Etapa 3.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 6$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 3$ e $6$ .

$f (- 1) = 3$

Etapa 3.5.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 1$ é $3$ .

$y = 3$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 2 (2) + 6$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 2 (2) + 6$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = - 4 + 2 (2) + 6$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (2) = - 4 + 4 + 6$

Etapa 3.8.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (2) = 0 + 6$

Etapa 3.8.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f (2) = 6$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 2$ é $6$ .

$y = 6$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 2 (3) + 6$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 2 (3) + 6$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = - 9 + 2 (3) + 6$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (3) = - 9 + 6 + 6$

Etapa 3.11.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Some $- 9$ e $6$ .

$f (3) = - 3 + 6$

Etapa 3.11.2.2

Some $- 3$ e $6$ .

$f (3) = 3$

Etapa 3.11.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 3$ é $3$ .

$y = 3$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, 7)$

Foco: $(1, \frac{27}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 3 \\ 0 & 6 \\ 1 & 7 \\ 2 & 6 \\ 3 & 3 \end{array}$

Etapa 5