Álgebra Exemplos

$x^{4} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x$

Etapa 1

Fatore $x$ de $x^{4} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 6 x^{3} + 11 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $- 6 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2}) + 11 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $11 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2}) + x (11 x) - 6 x$

Etapa 1.4

Fatore $x$ de $- 6 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2}) + x (11 x) + x \cdot - 6$

Etapa 1.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 6 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 6 x^{2}) + x (11 x) + x \cdot - 6$

Etapa 1.6

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 6 x^{2}) + x (11 x)$ .

$x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x) + x \cdot - 6$

Etapa 1.7

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6)$

Etapa 2

Fatore $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

Etapa 2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$

Etapa 2.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 11 \cdot 1 - 6$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$1 - 6 + 11 \cdot 1 - 6$

Etapa 2.3.5

Subtraia $6$ de $1$ .

$- 5 + 11 \cdot 1 - 6$

Etapa 2.3.6

Multiplique $11$ por $1$ .

$- 5 + 11 - 6$

Etapa 2.3.7

Some $- 5$ e $11$ .

$6 - 6$

Etapa 2.3.8

Subtraia $6$ de $6$ .

$0$

Etapa 2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6}{x - 1}$

Etapa 2.5

Divida $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$6$

Etapa 2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$

Etapa 2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} + 5 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$

Etapa 2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Etapa 2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x - 6$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Etapa 2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$11 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$11 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Etapa 2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 5 x + 6$

Etapa 2.6

Escreva $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ como um conjunto de fatores.

$x ((x - 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

Etapa 3

Fatore.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((x - 1) ((x - 3) (x - 2)))$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x - 1) (x - 3) (x - 2))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x - 1) (x - 3) (x - 2)$