Álgebra Exemplos

$\tan (\frac{π}{12}) = \cot (x - \frac{π}{36})$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{12})$

Etapa 2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{12})$ é $2 - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.4

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.5

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Etapa 2.6

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7

Simplifique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.1.2

Combine.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7.3.2

Cancele o fator comum.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7.3.3

Reescreva a expressão.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Etapa 2.7.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.5.2.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 2.7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Etapa 2.7.6

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 2.7.7

Multiplique $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Etapa 2.7.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.7.9

Simplifique.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.10.1

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.10.2

Eleve $3 - \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Etapa 2.7.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 2.7.10.4

Some $1$ e $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Etapa 2.7.11

Reescreva ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.12

Expanda $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.13.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.13.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4

Multiplique $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Etapa 2.7.13.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.7.13.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.13.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Etapa 2.7.13.1.5.5

Avalie o expoente.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Etapa 2.7.13.2

Some $9$ e $3$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.13.3

Subtraia $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.14

Cancele o fator comum de $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Etapa 2.7.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 2.7.14.2

Fatore $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Etapa 2.7.14.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Etapa 2.7.14.4.2

Cancele o fator comum.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Etapa 2.7.14.4.3

Reescreva a expressão.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Etapa 2.7.14.4.4

Divida $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 2 - \sqrt{3}$

Etapa 3

Converta o lado direito da equação em seu equivalente decimal.

$\cot (x - \frac{π}{36}) = 0.26794919$

Etapa 4

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$x - \frac{π}{36} = arccot (0.26794919)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Avalie $arccot (0.26794919)$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{5 π}{12}$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Some $\frac{π}{36}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{π}{36}$

Etapa 6.2

Para escrever $\frac{5 π}{12}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Etapa 6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{5 π}{12}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $12$ por $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{5 π \cdot 3 + π}{36}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$x = \frac{15 π + π}{36}$

Etapa 6.5.2

Some $15 π$ e $π$ .

$x = \frac{16 π}{36}$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $16$ e $36$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $4$ de $16 π$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{36}$

Etapa 6.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.6.2.1

Fatore $4$ de $36$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{4 (9)}$

Etapa 6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4 (4 π)}{4 \cdot 9}$

Etapa 6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4 π}{9}$

Etapa 7

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x - \frac{π}{36} = π + \frac{5 π}{12}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $π + \frac{5 π}{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = π \cdot \frac{12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Etapa 8.1.2

Combine frações.

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Etapa 8.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12}{12} + \frac{5 π}{12}$

Etapa 8.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x - \frac{π}{36} = \frac{π \cdot 12 + 5 π}{12}$

Etapa 8.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.3.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{12 \cdot π + 5 π}{12}$

Etapa 8.1.3.2

Some $12 π$ e $5 π$ .

$x - \frac{π}{36} = \frac{17 π}{12}$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some $\frac{π}{36}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{17 π}{12} + \frac{π}{36}$

Etapa 8.2.2

Para escrever $\frac{17 π}{12}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π}{12} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{36}$

Etapa 8.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $\frac{17 π}{12}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{π}{36}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $12$ por $3$ .

$x = \frac{17 π \cdot 3}{36} + \frac{π}{36}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{17 π \cdot 3 + π}{36}$

Etapa 8.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Multiplique $3$ por $17$ .

$x = \frac{51 π + π}{36}$

Etapa 8.2.5.2

Some $51 π$ e $π$ .

$x = \frac{52 π}{36}$

Etapa 8.2.6

Cancele o fator comum de $52$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Fatore $4$ de $52 π$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{36}$

Etapa 8.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.2.1

Fatore $4$ de $36$ .

$x = \frac{4 (13 π)}{4 (9)}$

Etapa 8.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4 (13 π)}{4 \cdot 9}$

Etapa 8.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{13 π}{9}$

Etapa 9

Encontre o período de $\cot (x - \frac{π}{36})$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 9.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10

O período da função $\cot (x - \frac{π}{36})$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{9} + π n, \frac{13 π}{9} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as respostas.

$x = \frac{4 π}{9} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$