Álgebra Exemplos

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} \leq 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $- x^{2}$ de $- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- x^{2}$ de $- 3 x^{4}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- x^{2}$ de $- 20 x^{3}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) + 7 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $- x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x)$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} (- 7)$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ e cuja soma é $b = 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $20$ de $20 x$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva $20$ como $- 1$ mais $21$

$- x^{2} (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

Etapa 2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

Etapa 2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x^{2} (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$- x^{2} ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 6

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{3}, - 7$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$- 3 {(- 10)}^{4} - 20 {(- 10)}^{3} + 7 {(- 10)}^{2} \leq 0$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $- 9300$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$- 3 {(- 4)}^{4} - 20 {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} \leq 0$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $624$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.17$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $0.17$ na desigualdade original.

$- 3 {(0.17)}^{4} - 20 {(0.17)}^{3} + 7 {(0.17)}^{2} \leq 0$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $0.10153437$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 9.4

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 9.4.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$- 3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 7 {(3)}^{2} \leq 0$

Etapa 9.4.3

O lado esquerdo $- 720$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Verdadeiro

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 7$ ou $x \geq \frac{1}{3}$ ou $x = 0$

Etapa 11

Combine os intervalos.

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 7] \cup [0, 0] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Etapa 13