Álgebra Exemplos

x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6

$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

- 5 x^{3} + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6

$- 5 x^{3} + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Etapa 2

Fatore

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ de

- 5 x^{3} + 5 x^{2}

$- 5 x^{3} + 5 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ de

- 5 x^{3}

$- 5 x^{3}$ .

- 5 x^{2} (x) + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6

$- 5 x^{2} (x) + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Etapa 2.2

Fatore

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ de

5 x^{2}

$5 x^{2}$ .

- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1) + x^{4} + 5 x - 6

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Etapa 2.3

Fatore

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ de

- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1)

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1)$ .

- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6

$- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6$

- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6

$- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Etapa 3

Fatore

x^{4} + 5 x - 6

$x^{4} + 5 x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 3.3

Substitua

1

$1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

0

$0$ . Portanto,

1

$1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua

1

$1$ no polinômio.

1^{4} + 5 \cdot 1 - 6

$1^{4} + 5 \cdot 1 - 6$

Etapa 3.3.2

Eleve

1

$1$ à potência de

4

$4$ .

1 + 5 \cdot 1 - 6

$1 + 5 \cdot 1 - 6$

Etapa 3.3.3

Multiplique

5

$5$ por

1

$1$ .

1 + 5 - 6

$1 + 5 - 6$

Etapa 3.3.4

Some

1

$1$ e

5

$5$ .

6 - 6

$6 - 6$

Etapa 3.3.5

Subtraia

6

$6$ de

6

$6$ .

0

$0$

Etapa 3.4

Como

$1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

$x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 5 x - 6}{x - 1}$

Etapa 3.5

Divida

$x^{4} + 5 x - 6$ por

$x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

$0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Etapa 3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Etapa 3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Etapa 3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Etapa 3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$x^{2} - x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

Etapa 3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Etapa 3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Etapa 3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Etapa 3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$6 x - 6$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Etapa 3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

Etapa 3.5.21

Já que o resto é

$0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + x^{2} + x + 6$

Etapa 3.6

Escreva

$x^{4} + 5 x - 6$ como um conjunto de fatores.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Etapa 4

Fatore

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

$\frac{p}{q}$ , em que

$p$ é um fator da constante e

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 4.1.2

Encontre todas as combinações de

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 4.1.3

Substitua

$- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

$0$ . Portanto,

$- 2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Substitua

$- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Etapa 4.1.3.2

Eleve

$- 2$ à potência de

$3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Etapa 4.1.3.3

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$- 8 + 4 - 2 + 6$

Etapa 4.1.3.4

Some

$- 8$ e

$4$ .

$- 4 - 2 + 6$

Etapa 4.1.3.5

Subtraia

$2$ de

$- 4$ .

$- 6 + 6$

Etapa 4.1.3.6

Some

$- 6$ e

$6$ .

$0$

Etapa 4.1.4

Como

$- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

$x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 6}{x + 2}$

Etapa 4.1.5

Divida

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ por

$x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

$0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$- x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Etapa 4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Etapa 4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Etapa 4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$3 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Etapa 4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

Etapa 4.1.5.16

Já que o resto é

$0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - x + 3$

Etapa 4.1.6

Escreva

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ como um conjunto de fatores.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Etapa 4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Etapa 5

Fatore

$x - 1$ de

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore

$x - 1$ de

$- 5 x^{2} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Etapa 5.2

Fatore

$x - 1$ de

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Etapa 5.3

Fatore

$x - 1$ de

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + (x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Etapa 6

Expanda

$(x + 2) (x^{2} - x + 3)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique

$x$ por

$x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique

$x$ por

$x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Eleve

$x$ à potência de

$1$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.1.2

Some

$1$ e

$2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.3

Multiplique

$x$ por

$x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Mova

$x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.3.2

Multiplique

$x$ por

$x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.4

Mova

$3$ para a esquerda de

$x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.5

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 3)$

Etapa 7.6

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 6)$

Etapa 8

Some

$- x^{2}$ e

$2 x^{2}$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + 3 x - 2 x + 6)$

Etapa 9

Subtraia

$2 x$ de

$3 x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Etapa 10

Some

$- 5 x^{2}$ e

$x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6)$

Etapa 11

Fatore.

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Etapa 11.1

Reescreva

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ em uma forma fatorada.

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Etapa 11.1.1

Fatore

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 11.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

$\frac{p}{q}$ , em que

$p$ é um fator da constante e

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 11.1.1.2

Encontre todas as combinações de

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 11.1.1.3

Substitua

$- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

$0$ . Portanto,

$- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 11.1.1.3.1

Substitua

$- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Etapa 11.1.1.3.2

Eleve

$- 1$ à potência de

$3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Etapa 11.1.1.3.3

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

Etapa 11.1.1.3.4

Multiplique

$- 4$ por

$1$ .

$- 1 - 4 - 1 + 6$

Etapa 11.1.1.3.5

Subtraia

$4$ de

$- 1$ .

$- 5 - 1 + 6$

Etapa 11.1.1.3.6

Subtraia

$1$ de

$- 5$ .

$- 6 + 6$

Etapa 11.1.1.3.7

Some

$- 6$ e

$6$ .

$0$

Etapa 11.1.1.4

Como

$- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

$x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

Etapa 11.1.1.5

Divida

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ por

$x + 1$ .

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Etapa 11.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

$0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 11.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Etapa 11.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 11.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Etapa 11.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Etapa 11.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Etapa 11.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$- 5 x^{2} - 5 x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 11.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Etapa 11.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 11.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

$6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

$x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 11.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Etapa 11.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

$6 x + 6$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Etapa 11.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Etapa 11.1.1.5.16

Já que o resto é

$0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 5 x + 6$

Etapa 11.1.1.6

Escreva

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

Etapa 11.1.2

Fatore

$x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 11.1.2.1

Fatore

$x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 11.1.2.1.1

Considere a forma

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

$c$ e cuja soma é

$b$ . Neste caso, cujo produto é

$6$ e cuja soma é

$- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 11.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x - 2)))$

Etapa 11.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x - 2))$

Etapa 11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x - 2)$