Álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ como uma equação.

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ .

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ como ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$1 - y^{3} = x^{3}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y^{3} = x^{3} - 1$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- y^{3} = x^{3} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- y^{3} = x^{3} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{3}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - x^{3} + 1$

Etapa 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ .

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Etapa 3.4.4.1

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.4.4.1.1

Reescreva $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

Etapa 3.4.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

Etapa 3.4.4.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = - x$ e $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique.

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Etapa 3.4.4.3.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3.4

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 3.4.4.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Etapa 3.4.4.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.3.1

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.5

Simplifique.

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Etapa 5.2.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.6

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.7

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.8.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.9

Reescreva ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.10.1

Aplique a regra do produto a $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.10.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

Etapa 5.2.11

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Etapa 5.2.12

Simplifique.

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Etapa 5.2.12.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Etapa 5.2.12.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

Etapa 5.3.3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

Etapa 5.3.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Etapa 5.3.5.2

Multiplique $\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ por $1$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Etapa 5.3.5.3

Reescreva ${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

Etapa 5.3.5.4

Aplique a regra do produto a $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$