Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 8}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 (x) - 8}{4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $2$ como $- 4$ mais $6$

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8}{4 - x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Etapa 1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = \frac{x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4)}{4 - x^{2}}$

Etapa 1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 4$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{4 - x^{2}}$

Etapa 2

Fatore $4 - x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{2^{2} - x^{2}}$

Etapa 2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(2 + x) (2 - x)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de $x + 2$ e $2 + x$ .

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Etapa 3.1

Reordene os termos.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{2 - x}$

Etapa 4

Para encontrar os furos no gráfico, observe os fatores denominadores que foram cancelados.

$2 + x$

Etapa 5

Para encontrar as coordenadas dos furos, defina cada fator que foi cancelado igual a $0$ , resolva e substitua novamente por $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 + x$ como igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.3

Substitua $- 2$ por $x$ em $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Substitua $- 2$ por $x$ para encontrar a coordenada $y$ do furo.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - - 2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 \cdot - 2 - 4$ e $2 - - 2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Reordene os termos.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $2$ de $3 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2.1.4

Fatore $2$ de $2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.1.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) - 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.2.1.5.2

Fatore $2$ de $- 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) + 2 (- - 1)}$

Etapa 5.3.2.1.5.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- - 1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Etapa 5.3.2.1.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Etapa 5.3.2.1.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot - 1 - 2}{1 - - 1}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 - 2}{1 - - 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{1 - - 1}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 5}{1 + 1}$

Etapa 5.3.2.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 5}{2}$

Etapa 5.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2}$

Etapa 5.4

Os furos no gráfico são os pontos em que qualquer um dos fatores cancelados é igual a $0$ .

$(- 2, - \frac{5}{2})$

Etapa 6