Álgebra Exemplos

$\log_{2} (x^{2} - 7) - \log_{2} (x + 5) = 0$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (\frac{x^{2} - 7}{x + 5}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} - 7}{x + 5}$

Etapa 3

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} - 7 = 2^{0} (x + 5)$

Etapa 4

Simplifique $2^{0} (x + 5)$ .

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Etapa 4.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} - 7 = 1 (x + 5)$

Etapa 4.2

Multiplique $x + 5$ por $1$ .

$x^{2} - 7 = x + 5$

Etapa 5

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 7 - x = 5$

Etapa 6

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - x = 5 + 7$

Etapa 6.2

Some $5$ e $7$ .

$x^{2} - x = 12$

Etapa 7

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 12 = 0$

Etapa 8

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 8.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 8.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 3) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 10

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 10.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 11

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 11.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 3$