Álgebra Exemplos

$2 \sqrt{x + 3} \leq 8$

Etapa 1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} \leq 8^{2}$

Etapa 2

Simplifique cada lado da desigualdade.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x + 3)}^{1} \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x + 3) \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 \leq 8^{2}$

Etapa 2.2.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$4 x + 12 \leq 8^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$4 x + 12 \leq 64$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da desigualdade.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $12$ dos dois lados da desigualdade.

$4 x \leq 64 - 12$

Etapa 3.1.2

Subtraia $12$ de $64$ .

$4 x \leq 52$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 x \leq 52$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 x \leq 52$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{52}{4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Divida $52$ por $4$ .

$x \leq 13$

Etapa 4

Encontre o domínio de $2 \sqrt{x + 3} - 8$ .

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Etapa 4.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 3 \geq 0$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 3$

Etapa 4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 3, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 13$

$x > 13$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$2 \sqrt{(- 6) + 3} \leq 8$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 \sqrt{(0) + 3} \leq 8$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $3.46410161$ é menor do que o lado direito $8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $x > 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 16$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $16$ na desigualdade original.

$2 \sqrt{(16) + 3} \leq 8$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $8.71779788$ é maior do que o lado direito $8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 13$ Verdadeiro

$x > 13$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 13$ Verdadeiro

$x > 13$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 \leq x \leq 13$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 3 \leq x \leq 13$

Notação de intervalo:

$[- 3, 13]$

Etapa 9