Álgebra Exemplos

$\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5}) = \log_{5} (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\log_{5} (125) - \log_{5} (\sqrt{5})$ .

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Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}})$

Etapa 2.1.2

Multiplique $\frac{125}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Multiplique $\frac{125}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Etapa 2.1.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Etapa 2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Etapa 2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Etapa 2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Etapa 2.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{125 \sqrt{5}}{5})$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $125$ e $5$ .

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Etapa 2.1.4.1

Fatore $5$ de $125 \sqrt{5}$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5})$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 (1)})$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{5 (25 \sqrt{5})}{5 \cdot 1})$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\log_{5} (x) = \log_{5} (\frac{25 \sqrt{5}}{1})$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $25 \sqrt{5}$ por $1$ .

$\log_{5} (x) = \log_{5} (25 \sqrt{5})$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x = 25 \sqrt{5}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 25 \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 55.90169943 \dots$