Álgebra Exemplos

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Etapa 1

Reescreva $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} - 10 u + 9$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 9, - 1$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Etapa 5

Reescreva $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Etapa 6

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Etapa 7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{\frac{1}{3}}$ e $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Etapa 8

Reescreva $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Etapa 9

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 10

Fatore.

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Etapa 10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{\frac{1}{3}}$ e $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Etapa 10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$