Álgebra Exemplos

$5^{x + 4} = y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $y = 5^{x + 4}$ .

$y = 5^{x + 4}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5^{y + 4}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5^{y + 4} = x$ .

$5^{y + 4} = x$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (5^{y + 4}) = \ln (x)$

Etapa 3.3

Expanda $\ln (5^{y + 4})$ movendo $y + 4$ para fora do logaritmo.

$(y + 4) \ln (5) = \ln (x)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) = \ln (x)$

Etapa 3.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) - \ln (x) = 0$

Etapa 3.6

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.1

Subtraia $4 \ln (5)$ dos dois lados da equação.

$y \ln (5) - \ln (x) = - 4 \ln (5)$

Etapa 3.6.2

Some $\ln (x)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$

Etapa 3.7

Divida cada termo em $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ por $\ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 3.7.1

Divida cada termo em $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ por $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 3.7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 3.7.3.1.2

Divida $- 4$ por $1$ .

$y = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = 5^{x + 4}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} \cdot 5^{x + 4}$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{\ln (5^{x + 4})}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Expanda $\ln (5^{x + 4})$ movendo $x + 4$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $\ln (5)$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x + 4$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + x + 4$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $- 4 + x + 4$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4}$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4$ .

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Etapa 5.3.3.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Etapa 5.3.3.2

Some $0$ e $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Etapa 5.3.4

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Etapa 5.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ é o inverso de $f (x) = 5^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$