Álgebra Exemplos

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Etapa 1

Como $x = r \cos (θ)$ , substitua $x$ por $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Etapa 2

Como $y = r \sin (θ)$ , substitua $y$ por $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Etapa 3

Resolva $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ como $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ .

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.1.1.1

Mova $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.3.2

Subtraia $3 r \cos (θ)$ de $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.4

Reescreva ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ como $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.5

Expanda $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.6.1.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.6.1.1.1

Mova $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.2

Multiplique $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 3.2.1.6.1.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.2.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.1.4

Multiplique $4$ por $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.1.6.2

Some $4 r \sin (θ)$ e $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.2.2.1

Mova $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.2.3

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.2.4

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.3

Reorganize os termos.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.5

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Etapa 3.2.5.2

Some $9$ e $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Etapa 3.2.5.3

Combine os termos opostos em $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

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Etapa 3.2.5.3.1

Subtraia $25$ de $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Etapa 3.2.5.3.2

Some $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ e $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $r$ de $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $r$ de $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $r$ de $- 6 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore $r$ de $8 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Etapa 3.3.4

Fatore $r$ de $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Etapa 3.3.5

Fatore $r$ de $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Etapa 3.5

Defina $r$ como igual a $0$ .

$r = 0$

Etapa 3.6

Defina $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ como igual a $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $r$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.6.2.1

Some $6 \cos (θ)$ aos dois lados da equação.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $8 \sin (θ)$ dos dois lados da equação.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ verdadeiro.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$