Álgebra Exemplos

y - 5 = f (\frac{x}{- 1})

$y - 5 = f (\frac{x}{- 1})$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia

f (\frac{x}{- 1})

$f (\frac{x}{- 1})$ dos dois lados da equação.

y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0

$y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Mova o número negativo do denominador de

\frac{x}{- 1}

$\frac{x}{- 1}$ .

y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0

$y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva

- 1 \cdot x

$- 1 \cdot x$ como

- x

$- x$ .

y - 5 - f (- x) = 0

$y - 5 - f (- x) = 0$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0

$y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

y - 5 + 1 f x = 0

$y - 5 + 1 f x = 0$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique

f

$f$ por

1

$1$ .

y - 5 + f x = 0

$y - 5 + f x = 0$

y - 5 + f x = 0

$y - 5 + f x = 0$

Etapa 1.1.3

Mova

- 5

$- 5$ .

y + f x - 5 = 0

$y + f x - 5 = 0$

Etapa 1.1.4

Reordene

y

$y$ e

f x

$f x$ .

f x + y - 5 = 0

$f x + y - 5 = 0$

f x + y - 5 = 0

$f x + y - 5 = 0$

Etapa 1.2

Some

5

$5$ aos dois lados da equação.

f x + y = 5

$f x + y = 5$

Etapa 1.3

Divida cada termo por

5

$5$ para que o lado direito seja igual a um.

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a

1

$1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja

1

$1$ .

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável

h

$h$ representa o deslocamento de x em relação à origem,

k

$k$ representa o deslocamento de y em relação à origem,

a

$a$ .

a = \sqrt{5}

$a = \sqrt{5}$

b = \sqrt{5}

$b = \sqrt{5}$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Substitua os valores de

h

$h$ e

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre

c

$c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de

$a$ e

$b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{5^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{5 + 5^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{5 + 5}$

Etapa 5.3.3

Some

$5$ e

$5$ .

$\sqrt{10}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar

$a$ com

$h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$a$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{5}, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair

$a$ de

$h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$a$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma

$(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar

$c$ com

$h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$c$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{10}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair

$c$ de

$h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$c$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de

$a$ e

$b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.1.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.1.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{1}}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.1.3

Some

$5$ e

$5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

Etapa 8.3.2

Combine

$\sqrt{10}$ e

$\sqrt{5}$ em um único radical.

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

Etapa 8.3.3

Divida

$10$ por

$5$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de

$b$ e

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Reescreva

${\sqrt{5}}^{2}$ como

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{5}$ como

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ por

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ por

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve

$\sqrt{10}$ à potência de

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve

$\sqrt{10}$ à potência de

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some

$1$ e

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva

${\sqrt{10}}^{2}$ como

$10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{10}$ como

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de

$5$ e

$10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Fatore

$5$ de

$5 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Fatore

$5$ de

$10$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Etapa 11

Simplifique

$1 \cdot x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some

$1 \cdot x$ e

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Etapa 11.2

Multiplique

$x$ por

$1$ .

$y = x$

Etapa 12

Simplifique

$- 1 \cdot x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some

$- 1 \cdot x$ e

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Etapa 12.2

Reescreva

$- 1 x$ como

$- x$ .

$y = - x$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = x, y = - x$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro:

$(0, 0)$

Vértices:

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Ponto imaginário:

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Excentricidade:

$\sqrt{2}$

Parâmetro focal:

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Assíntotas:

$y = x$ ,

$y = - x$

Etapa 15