Álgebra Exemplos

$x^{2} - y^{2} = 1$

Etapa 1

Como $x = r \cos (θ)$ , substitua $x$ por $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

Etapa 2

Como $y = r \sin (θ)$ , substitua $y$ por $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = r \cos (θ)$ e $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

Etapa 3.1.1.2

Expanda $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.1.3.1

Combine os termos opostos em $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ .

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Etapa 3.1.1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ e $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.1.2

Some $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ e $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.1.3

Some $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ e $0$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.3.2.1

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.3.2.1.1

Mova $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.1.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Multiplique $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 3.1.1.3.2.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.4

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.3.2.4.1

Mova $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.4.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.5

Multiplique $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 3.1.1.3.2.5.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.5.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

Etapa 3.1.1.3.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

Etapa 3.2

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $r^{2}$ de $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Etapa 3.2.2

Fatore $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Etapa 3.3

Fatore.

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Etapa 3.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \cos (θ)$ e $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

Etapa 3.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ por $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ por $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (θ) + \sin (θ)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (θ) - \sin (θ)$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.4.2.2.2

Divida $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Etapa 3.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Etapa 3.6.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ por $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Etapa 3.6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Etapa 3.6.4.2

Eleve $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ à potência de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Etapa 3.6.4.3

Eleve $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ à potência de $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

Etapa 3.6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

Etapa 3.6.4.6

Reescreva ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ como $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

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Etapa 3.6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ como ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

Etapa 3.6.4.6.5

Simplifique.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Etapa 3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$