Álgebra Exemplos

$y = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = {(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como ${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$

Etapa 2.2

Eleve cada lado da equação à potência de $4$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2^{y} - 3)}^{1} = x^{4}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique.

$2^{y} - 3 = x^{4}$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2^{y} = x^{4} + 3$

Etapa 2.4.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{y}) = \ln (x^{4} + 3)$

Etapa 2.4.3

Expanda $\ln (2^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ por $\ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 2.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3.1.2

Simplifique.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} - 3 + 3)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3.2

Combine os termos opostos em $2^{x} - 3 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $2^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.4

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 4.2.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\log_{2} (x^{4} + 3)} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.3.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 3 - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.3.4

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Combine os termos opostos em $x^{4} + 3 - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 0)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.3.4.1.2

Some $x^{4}$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 4.3.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$