Álgebra Exemplos

$y = x - \frac{1}{x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x - \frac{1}{x}$ é indefinida.

$x = 0$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Combine.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x \cdot x - 1}{x}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x - 1}{x}$

Etapa 5.1.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x}$

Etapa 5.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1}{x}$

Etapa 5.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Etapa 5.1.3.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Etapa 5.1.3.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Etapa 5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Etapa 5.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Etapa 5.3

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x}$

Etapa 5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x}$

Etapa 5.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x}$

Etapa 5.3.11

Some $- 1 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x}$

Etapa 5.3.12

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Etapa 5.9

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Etapa 5.10

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - \frac{1}{x}$

Etapa 5.11

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x$

Etapa 7