Álgebra Exemplos

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{2}{x - 1}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x}{3 x - 5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{2}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(3 x - 5) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x}{3 x - 5}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{2}{x - 1}$ por $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (3 x - 5)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.6

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.7

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.8

Subtraia $6 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 2.5.9

Fatore $x^{2} - 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.5.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 2.5.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 x = 5$

Etapa 7

Divida cada termo em $3 x = 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Etapa 8

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

Etapa 10

Consolide as soluções.

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ .

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Etapa 11.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x$ .

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Etapa 11.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 11.2.2

Defina $3 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.2.1

Defina $3 x - 5$ como igual a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Etapa 11.2.2.2

Resolva $3 x - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.2.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 x = 5$

Etapa 11.2.2.2.2

Divida cada termo em $3 x = 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 11.2.2.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 11.2.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Etapa 11.2.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Etapa 11.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 11.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 11.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 5) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{5}{3}, 1$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $0$ é maior do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $1 < x < \frac{5}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < \frac{5}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.33$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $1.33$ na desigualdade original.

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{3168}$ é menor do que o lado direito $6.\overline{06}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $\frac{5}{3} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{5}{3} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.83$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $1.83$ na desigualdade original.

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $3.73469387$ é maior do que o lado direito $2.40963855$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.4

Teste um valor no intervalo $2 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.4.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 13.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

Etapa 13.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{571428}$ é menor do que o lado direito $0.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.5

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 13.5.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

Etapa 13.5.3

O lado esquerdo $0.42105263$ é maior do que o lado direito $0.\overline{285714}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5}{3} < x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{3}$ Verdadeiro

$\frac{5}{3} < x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Verdadeiro

$x > 5$ Falso

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$1 < x < \frac{5}{3}$ ou $2 \leq x \leq 5$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

Notação de intervalo:

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

Etapa 16