Álgebra Exemplos

$x^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Etapa 1

Substitua $u$ por $x^{4}$ .

$u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = - 2$ e $b = 2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

Etapa 5.3.3

Some $12$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 4$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

Etapa 7

Como a tangente inversa de $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{2 π}{3}$ e $| z | = 4$ .

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 9

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$u^{4} = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 10

Use o teorema de De Moivre para encontrar uma equação para $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = - 2 + 2 \sqrt{3} i = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 11

Equacione o módulo da forma trigonométrica como $r^{4}$ para encontrar o valor de $r$ .

$r^{4} = 4$

Etapa 12

Resolva a equação para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{4}$

Etapa 12.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

Etapa 12.2.2

Reescreva $\sqrt[4]{2^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$r = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 12.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = \pm \sqrt{2}$

Etapa 12.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$r = \sqrt{2}$

Etapa 12.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$r = - \sqrt{2}$

Etapa 12.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$r = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 13

Encontre o valor aproximado de $r$ .

$r = 1.41421356$

Etapa 14

Encontre os valores possíveis de $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$ e $s i n (4 θ) = s i n (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$

Etapa 15

Encontrar todos os valores possíveis de $θ$ leva à equação $4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$

Etapa 16

Encontre o valor de $θ$ para $r = 0$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Etapa 17

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Multiplique $2 π \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0 π$

Etapa 17.1.1.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0$

Etapa 17.1.2

Some $\frac{2 π}{3}$ e $0$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 17.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{2 π}{3}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{2 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Etapa 17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Etapa 17.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

Etapa 17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 17.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 17.2.3.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Etapa 17.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 17.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 17.2.3.3

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Etapa 17.2.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 18

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 19

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 19.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Etapa 19.1.3

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.3

Multiplique $1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.1

Combine $1.41421356$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.3.2

Multiplique $1.41421356$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.4

Combine $1.41421356$ e $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + \frac{1.41421356 i}{2}$

Etapa 19.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.5.1

Divida $2.44948974$ por $2$ .

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 i}{2}$

Etapa 19.5.2

Fatore $1.41421356$ de $1.41421356 i$ .

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2}$

Etapa 19.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

Etapa 19.5.4

Separe as frações.

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 19.5.5

Divida $1.41421356$ por $2$ .

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 (\frac{i}{1})$

Etapa 19.5.6

Divida $i$ por $1$ .

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

Etapa 20

Substitua $x^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{0} = 0 + 1.22474487 + 0.70710678 i$

Etapa 21

Encontre o valor de $θ$ para $r = 1$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (1)$

Etapa 22

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π$

Etapa 22.1.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 22.1.3

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}$

Etapa 22.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 θ = \frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}$

Etapa 22.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π + 6 π}{3}$

Etapa 22.1.6

Some $2 π$ e $6 π$ .

$4 θ = \frac{8 π}{3}$

Etapa 22.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{8 π}{3}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{8 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

Etapa 22.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

Etapa 22.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

Etapa 22.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 22.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.2.1

Fatore $4$ de $8 π$ .

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 22.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 22.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 23

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{1} = 1.41421356 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 24

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{1} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 24.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 24.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 24.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 24.1.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 24.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 24.3

Multiplique $1.41421356 (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.3.1

Multiplique $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{1} = - 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 24.3.2

Combine $- 1.41421356$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 24.4

Multiplique $1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.4.1

Combine $1.41421356$ e $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 24.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1.41421356$ .

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{2.44948974 i}{2}$

Etapa 24.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.5.1

Divida $- 1.41421356$ por $2$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 i}{2}$

Etapa 24.5.2

Fatore $2.44948974$ de $2.44948974 i$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2}$

Etapa 24.5.3

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

Etapa 24.5.4

Separe as frações.

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 24.5.5

Divida $2.44948974$ por $2$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 (\frac{i}{1})$

Etapa 24.5.6

Divida $i$ por $1$ .

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

Etapa 25

Substitua $x^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{1} = 0 - 0.70710678 + 1.22474487 i$

Etapa 26

Encontre o valor de $θ$ para $r = 2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (2)$

Etapa 27

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π$

Etapa 27.1.2

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 27.1.3

Combine $4 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}$

Etapa 27.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 θ = \frac{2 π + 4 π \cdot 3}{3}$

Etapa 27.1.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$4 θ = \frac{2 π + 12 π}{3}$

Etapa 27.1.6

Some $2 π$ e $12 π$ .

$4 θ = \frac{14 π}{3}$

Etapa 27.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{14 π}{3}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{14 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

Etapa 27.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

Etapa 27.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

Etapa 27.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 27.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.2.1

Fatore $2$ de $14 π$ .

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 27.2.3.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

Etapa 27.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 27.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 27.2.3.3

Multiplique $\frac{7 π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 27.2.3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Etapa 28

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{2} = 1.41421356 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Etapa 29

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{2} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Etapa 29.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

Etapa 29.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6})))$

Etapa 29.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2}))$

Etapa 29.1.5

Combine $i$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})$

Etapa 29.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Etapa 29.3

Multiplique $1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.3.1

Multiplique $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{2} = - 1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Etapa 29.3.2

Combine $- 1.41421356$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{- 1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Etapa 29.3.3

Multiplique $- 1.41421356$ por $\sqrt{3}$ .

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

Etapa 29.4

Multiplique $1.41421356 (- \frac{i}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.4.1

Multiplique $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} - 1.41421356 \frac{i}{2}$

Etapa 29.4.2

Combine $- 1.41421356$ e $\frac{i}{2}$ .

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

Etapa 29.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.5.1

Divida $- 2.44948974$ por $2$ .

$u_{2} = - 1.22474487 + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

Etapa 29.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{(1.41421356) i}{2}$

Etapa 29.5.3

Fatore $1.41421356$ de $1.41421356 i$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2}$

Etapa 29.5.4

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

Etapa 29.5.5

Separe as frações.

$u_{2} = - 1.22474487 - (\frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1})$

Etapa 29.5.6

Divida $1.41421356$ por $2$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 (\frac{i}{1}))$

Etapa 29.5.7

Divida $i$ por $1$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 i)$

Etapa 29.5.8

Multiplique $0.70710678$ por $- 1$ .

$u_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

Etapa 30

Substitua $x^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{2} = 0 - 1.22474487 - 0.70710678 i$

Etapa 31

Encontre o valor de $θ$ para $r = 3$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (3)$

Etapa 32

Resolva a equação para $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π$

Etapa 32.1.2

Para escrever $6 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 32.1.3

Combine $6 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{6 π \cdot 3}{3}$

Etapa 32.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 θ = \frac{2 π + 6 π \cdot 3}{3}$

Etapa 32.1.5

Multiplique $3$ por $6$ .

$4 θ = \frac{2 π + 18 π}{3}$

Etapa 32.1.6

Some $2 π$ e $18 π$ .

$4 θ = \frac{20 π}{3}$

Etapa 32.2

Divida cada termo em $4 θ = \frac{20 π}{3}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 32.2.1

Divida cada termo em $4 θ = \frac{20 π}{3}$ por $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

Etapa 32.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 32.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 32.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

Etapa 32.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

Etapa 32.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 32.2.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 32.2.3.2.1

Fatore $4$ de $20 π$ .

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 32.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 32.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 33

Use os valores de $θ$ e $r$ para encontrar uma solução para a equação $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Etapa 34

Converta a solução em forma retangular.

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Etapa 34.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Etapa 34.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Etapa 34.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3})))$

Etapa 34.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2}))$

Etapa 34.1.5

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 34.2

Simplifique os termos.

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Etapa 34.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 34.2.2

Combine $1.41421356$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Etapa 34.3

Multiplique $1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.3.1

Multiplique $- 1$ por $1.41421356$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} - 1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 34.3.2

Combine $- 1.41421356$ e $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 34.3.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $- 1.41421356$ .

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

Etapa 34.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 34.4.1

Divida $1.41421356$ por $2$ .

$u_{3} = 0.70710678 + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

Etapa 34.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{(2.44948974) i}{2}$

Etapa 34.4.3

Fatore $2.44948974$ de $2.44948974 i$ .

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2}$

Etapa 34.4.4

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

Etapa 34.4.5

Separe as frações.

$u_{3} = 0.70710678 - (\frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1})$

Etapa 34.4.6

Divida $2.44948974$ por $2$ .

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 (\frac{i}{1}))$

Etapa 34.4.7

Divida $i$ por $1$ .

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 i)$

Etapa 34.4.8

Multiplique $1.22474487$ por $- 1$ .

$u_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$

Etapa 35

Substitua $x^{4}$ por $u$ para calcular o valor de $z$ depois do deslocamento direito.

$z_{3} = 0 + 0.70710678 - 1.22474487 i$

Etapa 36

Essas são as soluções complexas para $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ .

$z_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

$z_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

$z_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

$z_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$